Transformada de Laplace y sus propiedades; Ejemplos
  1. Linealidad
  2. Traslación sobre el eje s. (1er. Teorema de traslación)
  3. Transformada de la derivada de orden n de una función
  4. Transformada de la Integral de una función.
  5. Derivada de la transformada
    Ejercicios? Ir sin regreso
  6. Integral de la transformada
  7. Transformada de la función escalón
  8. Traslación en el eje t
  9. Transformada de funciones periódicas
  10. Teorema de Convolución
    Ejercicios? Ir sin regreso

EJEMPLOS

Ejemplos: Sobre la propiedad de Linealidad

Problema
Determine:
eq057

Solución
Usando la propiedad de linealidad tenemos:
eq140
Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:
eq114
Haciendo álgebra:
eq115
Por tanto:
eq061
índice

Problema
Determine:
eq062

Solución
Distribuyendo el denominador:
eq063
Usando la propiedad de linealidad tenemos:
eq116
Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:
eq117
Por tanto:
eq066
índice

Ejemplos: Sobre el primer teorema de traslación

Problema
Determine:
eq067

Solución
Para usar el primer teorema de traslación reconocemos:
eq068
Y por tanto:
eq069
Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:
eq070
Haciendo álgebra:
eq071
Por tanto:
eq072
índice

Problema
Determine:
eq073

Solución
Para aplicar el teorema debes hacer que la expresión sea una en s+4, el denominador domina el proceso, para ello todas las s "solas" las cambiaremos por s+4-4:
eq074
O:
eq118
El termino s+4 es s-a, es decir a=-4 y al aplicar el primer teorema de traslación tenemos:
eq119
Y siguiendo la propiedad de linealidad:
eq077
Haciendo uso de la tabla de transformadas:
eq078
Por tanto
eq079
índice
Ejemplos: Sobre el tma. de la transformada de la derivada
Problema

Sabiendo que y(0)=3 y que y'(0)=-1, simplifique:
eq080

Solución
Aplicando la propiedad de linelidad:
eq081
Por el teorema de la transformada de la derivada:
eq082
Y
eq083
De donde:
eq084
Agrupando terminos
eq085
Y por tanto:
eq086
índice

Ejemplos: Sobre el tma de la transformada de la integral

Problema
Determine:
eq087

Solución
Para aplicar el teorema reconocemos que:
eq088
Es decir que:
eq089
Aplicando el teorema de la transformada de la integral tenemos:
eq090
Haciendo uso de la tabla de transformadas:
eq091
Desarrollando la integral
eq092
Asi la integral queda:
eq093
Por tanto
eq094
índice
Ejemplos: Sobre el tma de la integral de la transformada
Problema
Determine:
eq095

Solución
Para usar el teorema de la transformada de la integral debemos ver si se comple que: reconocemos:
eq096
existe, para ello utilicemos la regla de L'Hopital:
eq097
Por tanto podemos aplicar el teorema y nos queda el desarrollo:
eq098
Desarrollando esta integral:
eq099
Recordemos que esto se calcula mediante limites:
eq100
Como
eq101
La integral finalmente queda:
eq120
Y por tanto
eq102
índice


Ejemplos: Sobre el tma de la derivada de la transformada

Problema
Determine:
eq103

Solución
Para usar el teorema de la derivada de la transformada reconocemos que n=2 y f(t)=sen(2 t), por consiguiente la apliacion de reduce a:
eq121
Desarrollando este segundo miembro:
eq122
Asi:
eq123

Por tanto:
eq107
índice

Problema
Determine:
eq141

Solución
De acuerdo con el teorema de la derivada de la transformada:
eq109
Es decir:
eq142
Como
eq111
Por tanto
eq112

índice
Ejemplos: Sobre la transformada de la función escalón

Problema
Determine la transformada de la función cuya gráfica es:
eq128

Solución
Esta función se describe como:
eq135
Asi
eq136
Usando la fórmula de la transformada de la función escalón:
eq129
Y por tanto
eq132
índice

Ejemplos: Sobre el segundo teorema de traslación
Consulte este documento
índice

Ejemplos: Sobre la transformada de uns función periódica

Problema
Determine la transformada de la función cuya gráfica es:
eq131

Solución
Esta función es periódica con período T=2 y para el cálculo de su transformada podemos utilizar la fórmula:
eq137
Puesto qur la función es seccionada en el intervalo [0,2] entonces la integral se calcula también por secciones:
eq138
Así:
eq139
Por tanto
eq143
índice

Ejemplos: Sobre el teorema de convolución
Problema
Detemine
eq144
Solución
En este caso
eq145
Donde
eq146
Si usamos el teorema de convolución:
eq147
Como
eq148
y
eq149
Entonces:
eq151
índice
Problema
Detemine
eq152
Solución Vemos la expresió como:
eq153
Y por consiguiente:
eq154
Y
eq155
De esta forma y aplicando el teorema de convolució:
eq156
Donde
eq157
Observe que alternativamente se tendría que:
eq158 Sin embargo la primera integral es mas fácil que ésta.
Así concluimos que:
eq159
índice

Sugerencias, comentarios? Enviame un correo euresti@campus.mty.itesm.mx