Transformada de Laplace: Solución de ED
Una de las principales aplicaciones de la transformada de Laplace es la de resolver ED lineales con condiciones iniciales.
El método es esencialmente simple y puede ser descrito en los siguientes pasos.
  1. Aplicar la transformada en ambos miembros de la ED
  2. Utilizar las propiedades de la transformada para que solo quede en términos de L{y(t)} y despejarla. Lo que se obtiene recibe el nombre de ecuación algebraica o subsidiaria.
  3. Aplicar la transformada inversa para despejar y(t)
Veamos algunos ejemplos de la aplicación de esta metodología.
Índice de Ejemplos
  1. Un problema tradicional
  2. Un problema donde las condiciones no son en t=0
  3. Un problema con coeficientes variables
  4. Una ecuacion integral

  1. Resuelva el problema:
    eq001
    que satisface:
    eq002
    Solución
    Aplicando la transformada en ambos miembros tenemos:
    eq003
    por la propiedad de linealidad aplicada en el primer miembro
    eq004 Ec 1
    por el teorema de la transformada de la derivada sabemos que:
    eq005
    y que:
    eq006
    sustituyendo lo anterior en la ecuación 1 tenemos:
    eq007
    Agrupando y solo dejando en el primer miembro los terminos que contienen L{y(t)}:
    eq008
    Asi la ecuación subsidiaria o algebraica queda:
    eq009 Ec 2
    Si aplicamos el método rápido de fracciones parciales en el segundo miembro:
    eq010
    para A; su denominador se hace cero para s=0 asi:
    eq011
    para B; su denominador se hace cero para s=3 asi:
    eq012
    para C; su denominador se hace cero para s=-1 asi:
    eq013
    Asi la Ec 2 queda:
    eq017
    aplicando la transformada inversa:
    eq015
    Por tanto:
    eq016

    índice

  2. Resuelva el problema:
    eq018
    que satisface:
    eq019
    Solución
    Puesto que las condiciones no son en t=0, lo que hacemos es un corrimiento de la forma t = T + a donde T es una nueva variable independiente; lo que requerimos es que cuando T=0 coincida con t=1, para ello cambiamos:
    eq020
    Con este cambio el problema inicial se cambia por:
    eq021
    que satisface:
    eq022
    Y ahora si continuamos con la metodologia del ejemplo anterior: Aplicando la transformada en ambos miembros tenemos:
    eq023
    por la propiedad de linealidad aplicada en el primer miembro
    eq024 Ec 3
    por el teorema de la transformada de la derivada sabemos que:
    eq025
    sustituyendo lo anterior en la Ec 3 tenemos:
    eq026
    Agrupando y solo dejando en el primer miembro los terminos que contienen L{y(t)}:
    eq036
    Asi la ecuación subsidiaria o algebraica queda:
    eq037 Ec 4
    Usando fracciones parciales:
    eq029
    De donde igualando los coeficientes en los numeradores:
    eq030
    De donde resolviendo este sistema tenemos A = -1, B = -2 y C=4.
    Sustituyendo estos valores en el desarrollo en fracciones parciales tenemos:
    eq031
    al sustituir en la Ec 4
    eq032
    aplicando la transformada inversa:
    eq033
    Por tanto consiguiente:
    eq034
    si recordamos que t=T+1, es decir que T=t-1 tenemos:
    eq035
    índice


  3. índice


  4. índice

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