Transformada Inversa de Laplace:
eq001
Manejo de Expresiones Racionales, directivas básicas

La clave está en el denominador. Lo que debe de hacerse depende centralmente de él. Primeramente se factoriza y dependiendo del resultado se procede. Estos son algunos de los casos importantes.
  1. eq002
  2. eq030
  3. eq031
  4. eq032
  5. eq033
  6. eq037
  7. eq038
  8. eq042
  9. Otros casos: Solo queda fracciones parciales.
    Ejercicios? Ir sin regreso
Un resultado básico sobre la transformada indica que
El límite de una expresión en s, que es la transformada de Laplace de una función, cuando s tiende a infinito debe ser cero.
Para que en una expresión racional esto pase el exponente del denominador debe ser mayor que el exponente del denominador.
Por eso en todos los ejemplos que se dan a continuación esto se cumple.
EJEMPLOS

Caso:
Denominador potencia de s
Ejemplo
Determine:
eq010

Solución
Distribuimos primeramente el denominador:
eq011
Usando la propiedad de linealidad tenemos:
eq012
Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:
eq043
Por tanto:
eq041
índice

Caso:
Denominador potencia de (s-a)
Ejemplo
Determine:
eq014

Solución
El denominador domina el proceso; para aplicar el primer teorema de traslació debemos hacer que la expresión sea una en s+4. Para ello todas las s en el numerador las cambiaremos por s+4-4:
eq015
O:
eq016
El termino s+4 es s-a, es decir a=-4 y al aplicar el primer teorema de traslación tenemos:
eq017
Y siguiendo la propiedad de linealidad:
eq018
Haciendo uso de la tabla de transformadas:
eq019
Por tanto
eq020
índice

Caso:
Denominador producto de factores lineales diferentes.
Ejemplo
Determine:
eq021

Solución
Aquí las raíces del denominador:
eq022
son: r1= -3 y r2 = 2, utilizando fracciones parciales queda:
eq023
Existe una técnica rápida para fracciones parciales que sólo es aplicable para determinar el coeficiente de una fracción de un factor lineal no repetido, a saber:
eq024
con:
eq025
Es decir:
El coeficiente numérico para un factor lineal es simplemente la evaluación de la fracción original en el valor de la variable donde se hace cero, excluyendo el factor de la fracción parcial
Es decir podemos imaginarnos el coeficiente A asociado al factor (s-a) como:
eq026

Aplicando esto, tenemos que A es el coeficiente asociado al factor (s+3) que se hace cero en s=-3, asi:
eq027
mientras que
eq028
Por tanto:
eq029

índice

Caso:
eq032
Ejemplo
Determine:
eq044

Solución
Distribuyendo el denominador:
eq045
Usando la propiedad de linealidad tenemos:
eq046
Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:
eq047
Por tanto:
eq048
índice

Caso:
eq033
En este caso:
eq049
Y se procede como en el caso 3
índice


Caso:
El denominador es una expresión cuadrática cuyas raíces son iguales.
En este caso:
eq050
Y la expresión se escribe:
eq051
Y se procede como en el caso 2
índice

Caso:
El denominador es una expresión cuadrática cuyas raíces son iguales.
En este caso:
eq052
Y la expresión se escribe:
eq053
Y se procede como en el caso 3
índice

Caso:
El denominador es una expresión cuadrática cuyas raíces son complejas.

Idea:
En este caso las raíces r1 y r2 de esa ecuación cuadrática son complejas(imaginarias) y conjugadas (que sean iguales salvo que difieren en el signo de la parte compleja). En este caso se procede a formar un trinomio cuadrado perfecto en el denominador y posteriormente se aplica el primer teorema de traslación.
Ejemplo
Determinemos
eq054
Solució
Aquí las raíces del denominador:
eq055
obtenidas mediante la aplicación de la fórmula general para la ecuación de segundo grado son:
eq056
El denominador se trabaja de la siguiente forma:
  1. los dos primeros términos del denominador se imaginan como formando parte de un trinomio cuadrado perfecto. El término faltante es el número 4.
    eq057
  2. se factoriza el trinomio cuadrado perfecto.
    eq058
El denominador es usado ahora como base para presentar la expresión completa debe presentarse como una expresión en s-2:
eq059
Ahora aplicamos el primer teorema de traslación; todas las apariciones de s-2 con cambiadas por s y esto involucra la aparición del factor eq060 :
eq061
Ahora separamos las fracciones:
eq066
Por linealidad
eq067
Aplicando las fórmulas de la transformada:
eq063
Por tanto:
eq065

índice

Caso:
El denominador queda factorizado con muchos términos
En este caso lo mas recomendable es utilizar fracciones parciales. Si esto le resulta cansado utilice el comando de maple:
> convert( Expresion , parfrac , variable );
índice
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