1. Contextualizar la transformada de Laplace
2. Definir transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace.
3. Obtener una tabla de transformadas de Laplace para las funciones
   • l, t, t^2, t^n, t^a
   • e^(at),
   • Cos(wt), Sen(wt), Cosh(wt), Senh(wt)
4. Enunciar e ilustrar el teorema de existencia de la transformada de Laplace.
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5. Enunciar, y demostrar solamente las 3 primeras de las siguientes propiedades de la transformada:
   1. Linealidad
   2. Traslación sobre el eje s. (1er. Teorema de traslación)
   3. Transformada de la derivada de orden n de una función
   4. Transformada de la Integral de una función.
   5. Derivada de la transformada
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   6. Integral de la transformada
   7. Transformada de la función escalón
   8. Traslación en el eje t
   9. Transformada de funciones periódicas
   10. Teorema de Convolución
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6. Obtener la transformada inversa de una función racional por el método de fracciones parciales, sin recurrir al análisis complejo.
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7. Aplicaciones físicas.
   1. Aplicar el método de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales.
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   2. Resolver algunos problemas físicos donde se ilustre la conveniencia de emplear la transformada de Laplace, como:
      1. Vibraciones Mecánicos
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      2. Circuitos eléctricos
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What we know is not much. What we do not know is immense.
(Allegedly his last words.)
Quoted in A. De Morgan: Budget of Paradoxes.

Pierre Simon Marquéz de Laplace

1. Mécanique Céleste monumental tratado en sobre cuestiones de gravitación publicado en cinco volúmenes entre los anos de 1799 y 1825. El principal legado de esta publicación reside en el desarrollo de la teoría de potencial, con implicaciones de largo alcance en ramas de la Física que van desde la gravitación, la mecánica de fluídos, el magnetismo y la física atómica.
2. Théorie Analytique des Probabilités que se considera la más grande contribución a esa parte de las matemáticas. Como anecdota, el libro inicia con palabras que mas o menos dicen "En el fondo, la teoría de probabilidades no es si no el sentido común reducido a cálculos", puede ser que si, pero las 700 páginas que le siguen a esas palabras son un análisis intrincado, en el cual usa a discreción la transformada de laplace, las funciones generatrices, y muchas otras técnicas no triviales.
3. Tras la Revolución Francesa, el talento político y la ambición de Laplace alcanzaron su cenit; Laplace se adaptaba demasiado fácilmente cambiando sus principios; yendo y viniendo entre lo republicano y monárquico emergiendo siempre con una mejor posición y un nuevo título.
4. Uno de los defectos principales que se le han atribuido en detrimento de su reputación es la omisión de toda referencia a los descubrimientos de sus predecesores y contemporaneos, dejando entrever que las ideas eran suyas del todo.
5. La ayuda prestada a los jovenes talentos científicos fue un gran acierto; entre esos jovenes se encuentan: el químico Gay-Lussac, el naturalista Humboldt, el físico Poisson, y al joven Cauchy, que estaría destinado a convertirse en uno de los artífices principales de las matemáticas del siglo XIX

1. Universidad de St Andrew, Escocia
2. En Francia

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.
Ir a índice

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge
Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
   1. De orden exponencial
   2. Continua a trozos

La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir

si es que acaso

Esta definición obliga a que se cumpla:

y

1. Obtención
   
   
   
2. Obtención
   
   
   
3. Obtención
   
   
   
4. Obtención Para n entero
   :
   
   
5. Obtención Para
   
   Nota sobre la función Gamma.
   
6. Obtención Para s > a
   
   
   
7. Obtención
   
   
   
8. Obtención
   
   
9. Obtención
   
   
10. Obtención
    
    

Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para de una función cualquiera:

1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo
2. Ser de orden exponencial

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.
Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications

1. Linealidad (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
   
   

   Idea
   La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

   
   Versión para la inversa:
   
   
2. Primer Teorema de Traslación (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
   
   donde
   
   

   Idea
   La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.
   

   Versión para la inversa:
   
   
3. Teorema de la transformada de la derivada (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
   

   Idea
   La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

   
   
4. Teorema de la transformada de la integral (Ejemplos,Ir a índice )
   
   
   
5. Teorema de la integral de la transformada (Ejemplos,Ir a índice )
   
   Siempre y cuando exista
   
   
   
6. Teorema de la derivada de la transformada (Ejemplos,Ir a índice )
   
   
   
7. Transformada de la función escalón (Ejemplos,Ir a índice )
   

   Si representa la función escalón unitario entonces
   
   
   

8. Segundo teorema de Traslación (Ejemplos,Ir a índice )
   
   
   
9. Transformada de una función periódica (Ejemplos,Ir a índice )
   

   Si f(t) es una función periódica con período T:
   
   

1. Separación de Fracciones,ejemplos
2. Primer Teorema de Traslación,ejemplos
3. Fracciones Parciales,ejemplos
4. Segundo Teorema de Traslación,consulte este documento
5. Convolución,ejemplos

Pasos

1. Aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ED
2. Usar las propiedades de la transformada para tener una expresión en L{y(t)}. Esta expresión se conoce como la Ecuacion Característica
3. Aplicar la transformada inversa de Laplace para despejar y(t)

Ejemplos

Sean f(t) y g(t) dos funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, y a y b dos constantes.
Entonces

Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, y a una constante.
Entonces para s > a:

Siendo

Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, cuya derivada también es así.
Entonces