TRANSFORMADA DE LAPLACE

Transformada de Laplace y sus propiedades
  1. Contextualizar la transformada de Laplace
  2. Definir transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace.
  3. Obtener una tabla de transformadas de Laplace para las funciones
  4. Enunciar e ilustrar el teorema de existencia de la transformada de Laplace.
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  5. Enunciar, y demostrar solamente las 3 primeras de las siguientes propiedades de la transformada:
    1. Linealidad
    2. Traslación sobre el eje s. (1er. Teorema de traslación)
    3. Transformada de la derivada de orden n de una función
    4. Transformada de la Integral de una función.
    5. Derivada de la transformada
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    6. Integral de la transformada
    7. Transformada de la función escalón
    8. Traslación en el eje t
    9. Transformada de funciones periódicas
    10. Teorema de Convolución
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  6. Obtener la transformada inversa de una función racional por el método de fracciones parciales, sin recurrir al análisis complejo.
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  7. Aplicaciones físicas.
    1. Aplicar el método de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales.
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    2. Resolver algunos problemas físicos donde se ilustre la conveniencia de emplear la transformada de Laplace, como:
      1. Vibraciones Mecánicos
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      2. Circuitos eléctricos
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What we know is not much. What we do not know is immense.
(Allegedly his last words.)
Quoted in A. De Morgan: Budget of Paradoxes.

Pierre Simon Marquéz de Laplace
(1749-1827) matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal. Prueba de sus talentos son
  1. Mécanique Céleste monumental tratado en sobre cuestiones de gravitación publicado en cinco volúmenes entre los anos de 1799 y 1825. El principal legado de esta publicación reside en el desarrollo de la teoría de potencial, con implicaciones de largo alcance en ramas de la Física que van desde la gravitación, la mecánica de fluídos, el magnetismo y la física atómica.
  2. Théorie Analytique des Probabilités que se considera la más grande contribución a esa parte de las matemáticas. Como anecdota, el libro inicia con palabras que mas o menos dicen "En el fondo, la teoría de probabilidades no es si no el sentido común reducido a cálculos", puede ser que si, pero las 700 páginas que le siguen a esas palabras son un análisis intrincado, en el cual usa a discreción la transformada de laplace, las funciones generatrices, y muchas otras técnicas no triviales.
  3. Tras la Revolución Francesa, el talento político y la ambición de Laplace alcanzaron su cenit; Laplace se adaptaba demasiado fácilmente cambiando sus principios; yendo y viniendo entre lo republicano y monárquico emergiendo siempre con una mejor posición y un nuevo título.
  4. Uno de los defectos principales que se le han atribuido en detrimento de su reputación es la omisión de toda referencia a los descubrimientos de sus predecesores y contemporaneos, dejando entrever que las ideas eran suyas del todo.
  5. La ayuda prestada a los jovenes talentos científicos fue un gran acierto; entre esos jovenes se encuentan: el químico Gay-Lussac, el naturalista Humboldt, el físico Poisson, y al joven Cauchy, que estaría destinado a convertirse en uno de los artífices principales de las matemáticas del siglo XIX
Algunos Links interesantes sobre Laplace:
  1. Universidad de St Andrew, Escocia
  2. En Francia
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Contexto

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.
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Definición de la Transformada
Sea f una función definida para eq001 , la transformada de Laplace de f(t) se define como
eq169
cuando tal integral converge
Notas
  1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
  2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
  3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
    1. De orden exponencial
    2. Continua a trozos
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Definición de la Transformada Inversa
La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir
eq170
si es que acaso
eq171
Esta definición obliga a que se cumpla:
eq172
y
eq173
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Tabla de Transformadas
  1. Obtención
    eq195

  2. Obtención
    eq196

  3. Obtención
    eq197

  4. Obtención Para n entero
    : eq198

  5. Obtención Para eq190
    eq199
    Nota sobre la función Gamma.
  6. Obtención Para s > a
    eq200

  7. Obtención
    eq201

  8. Obtención eq202

  9. Obtención eq203

  10. Obtención eq204

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Existencia de la Transformada
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para eq017 de una función cualquiera:
  1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo eq018
  2. Ser de orden exponencial eq019
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Propiedades de la Transformada
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.
Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications
  1. Linealidad (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
    eq020
    Idea
    La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

    Versión para la inversa:
    eq021
  2. Primer Teorema de Traslación (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
    eq022
    donde
    eq023
    Idea
    La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.
    Versión para la inversa:
    eq024
  3. Teorema de la transformada de la derivada (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
    eq025
    Idea
    La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

  4. Teorema de la transformada de la integral (Ejemplos,Ir a índice )
    eq161

  5. Teorema de la integral de la transformada (Ejemplos,Ir a índice )
    eq162
    Siempre y cuando exista
    eq163

  6. Teorema de la derivada de la transformada (Ejemplos,Ir a índice )
    eq164

  7. Transformada de la función escalón (Ejemplos,Ir a índice )
    Si eq030 representa la función escalón unitario entonces
    eq165

  8. Segundo teorema de Traslación (Ejemplos,Ir a índice )
    eq166

  9. Transformada de una función periódica (Ejemplos,Ir a índice )
    Si f(t) es una función periódica con período T:
    eq167
  • Teorema de la Convolución (Ejemplos, Ir a índice)
    Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces
    eq168
  • Ir a índice
    Técnicas para la Transformada Inversa
    1. Separación de Fracciones,ejemplos
    2. Primer Teorema de Traslación,ejemplos
    3. Fracciones Parciales,ejemplos
    4. Segundo Teorema de Traslación,consulte este documento
    5. Convolución,ejemplos
    Mas ayuda? Ir a una pagina de transformadas inversas
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    Método de Solución A ED basado en Laplace
    Pasos
    1. Aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ED
    2. Usar las propiedades de la transformada para tener una expresión en L{y(t)}. Esta expresión se conoce como la Ecuacion Característica
    3. Aplicar la transformada inversa de Laplace para despejar y(t)
    Ejemplos
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    Sistemas Masa-Resorte
    Ejemplos
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    Circuitos RLC
    Ejemplos
    Ir a índice

    DEDUCCIONES DE FÓRMULA

    La razón principal por la cual las demostraciones de las pruebas son incluidas es que hacen uso del teorema de la transformada de la derivada, haciéndolas sencillas y breves.


    Deducción de :

    eq113
    En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función
    eq118
    y por consiguiente
    eq119
    y al aplicar el teorema nos queda:
    eq120
    de donde :
    eq121
    Por tanto
    eq122
    Ir a índice
    Ir a la tabla de transformadas

    Deduccion de :

    eq114
    En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función
    eq123
    y por consiguiente
    eq124
    y al aplicar el teorema nos queda:
    eq125
    de donde y utilizando la obtención 1:
    eq126
    Por tanto
    eq127
    Ir a índice
    Ir a la tabla de transformadas

    Deduccion de :

    eq115
    En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función
    eq128
    y por consiguiente
    eq129
    y al aplicar el teorema nos queda:
    eq130
    de donde y utilizando la obtención 2 y la linealidad de la transformada:
    eq131
    Por tanto
    eq132
    Ir a índice
    Ir a la tabla de transformadas

    Deducción de :

    eq133
    En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función
    eq134
    y por consiguiente
    eq135
    y al aplicar el teorema nos queda:
    eq136
    de donde y utilizando un razonamiento inductivo:
    eq137
    Por tanto
    eq138
    Ir a índice
    Ir a la tabla de transformadas

    Deducción de :

    eq139
    En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función
    eq140
    y por consiguiente
    eq141
    y al aplicar el teorema nos queda:
    eq184
    de donde:
    eq185
    Por tanto y despejando eq064 :
    eq143

    Ir a índice
    Ir a la tabla de transformadas

    Deducción de :

    eq144
    En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función
    eq145
    y por consiguiente
    eq146
    y al aplicar el teorema nos queda:
    eq147
    de donde:
    eq148
    Por otro lado, si ahora utilizamos el mismo teorema de la transformada de la derivada pero usando la función
    eq149
    y por consiguiente
    eq150
    y al aplicar el teorema nos queda:
    eq151
    Si resolvemos este sistema de ecuaciones simultaneas en eq074 y eq075 obtenemos las fórmulas deseadas.
    Ir a índice
    Ir a la tabla de transformadas

    APENDICES

    Apéndice: La Función Escalón Unitario
    La función Escalón Unitario en a es la función simbolizada como eq030 ó eq076 y definida como:
    eq077
    Es decir, es una función que vale 0 y justo en después del instante t=a la función se activa y su valor cambia a uno. El efecto es el de un switch que está abierto y justo en el instante t=a se cierra.
    La gráfica de la función escalón queda de la siguiente forma:
    eq152
    La función puede ser combinada para construir funciones seccionadas como se ilustra en los ejemplos.
    Ir a índice
    Ir a Teorema 7
    Apéndice: Función Periódica
    Una función Periódica es una función que se repite. El período de la función es el mínimo intervalo de tiempo donde la función no se repite.
    Matemáticamente una función es periodica con período T es una función f(t) que cumple:

    eq153
    Dicho en terminos simples, lo que es o pasa con la función en el intervalo describe o determina totalmente a la función.
    Gráficamente una función periódica queda
    eq154

    Ir a índice
    Ir al Teorema 9
    Apéndice: Convergencia de una Integral
    Una integral del tipo

    eq155
    es una Integral Impropia del tipo I, se dice que ella converge si existe el límite

    eq156
    Es decir se sustituye el infinito por una nueva variable; se calcula la integral definida, y al resultado se le aplica el límite cuando la variable nueva tiende al infinito.
    Ir a índice
    Ir a la tabla de transformadas
    Apéndice: Continuidad a Pedazos
    Para motivos prácticos puede pensar a una función así como una función seccionada continua en cada una de las secciones pero que posiblemente no es continua en los puntos donde se unen dichas secciones. Los problemas que tiene la función son puntos aislados; no intervalos.
    Estas funciones tienen graficas similares a:
    eq157

    Ir a índice
    Ir a la tabla de transformadas
    Apéndice: Función de Orden Exponencial
    Una función f(t) se dice de orden exponencial eq019 si acaso existe una constante positiva M y un número T que cumplan:
    eq084
    Lo que establece la condición es que la función f(t) no crece mas rápido que la función exponencial en el intervalo eq085
    Ir a índice
    Ir a la definición de la transformada
    Apéndice: Función Gama de Euler
    Esta función, que es una de las funciones mas importantes de la matemática, se define como:
    eq158
    Para enteros positivos se cumple que:
    eq159
    Por lo que esta función puede ser vista como la generalizcación de la función factorial.
    Ir a índice
    Ir a la tabla de transformadas
    Apéndice: Convolución entre dos funciones
    La convolución entre las funciones f(t) y g(t) es una nueva función de t definida como :
    eq160
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    Ir al teorema 10

    Demostraciones

    Teorema
    Sean f(t) y g(t) dos funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, y a y b dos constantes.
    Entonces
    eq089
    Demostración
    Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:
    eq090
    Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites: eq091
    Recordando la definición de la transformada para f(t) y para g(t):
    eq092 eq093
    Ir a: índice, Propiedades, Propiedad de Linealidad.

    Teorema
    Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, y a una constante.
    Entonces para s > a:
    eq094
    Siendo
    eq095
    Demostración
    Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:
    eq096
    Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:
    eq097
    Agrupando las funciones exponenciales:
    eq098
    Si ahora hacemos el cambio de variable S=s-a lo anterior queda:
    eq099
    Este segundo miembro coincide con la transformada de laplace de la función f(t) en la variable S siempre y cuando S > 0 , es decir siempre que s-a > 0, es decir s > a. Resumiendo
    eq100
    Donde
    eq023
    Si encadenamos esta serie de igualdades
    eq101 eq093
    Ir a: índice, Propiedades, Traslación eje s.

    Teorema
    Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, cuya derivada también es así.
    Entonces
    eq102
    Demostración
    Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:
    eq103
    Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:
    eq104
    Integrando por partes y tomando:
    eq105
    por tanto:
    eq106
    y la integral anterior nos queda:
    eq107
    Avanzando en los cálculos del segundo miembro:
    eq108
    Asi:
    eq116 (Ec.I)
    Como la función f(t) es seccionalmente continua y de orden exponencial:
    eq110
    y además
    eq111
    Por tanto la ecuación (I) queda:
    eq112
    Y por consiguiente:
    eq117 eq093
    Ir a: índice, Propiedades, Transformada de la derivada.



    EJEMPLOS: Aun en construcción.


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