FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS



Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales.

 Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda.

 

 

La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos.

 

 

 

 

 

Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo.

Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica.

 

Funciones Trigonométricas:

Si dividimos:

 

llamaremos a esta función:  

 

         
  Seno y la denotaremos por Sen(a)  
         
  Coseno y la denotaremos por Cos(a)  
         
  Tangente y la denotaremos por Tan(a)  
         
  Cotangente y la denotaremos por Cot(a)  
         
  Secante y la denotaremos por Sec(a)  
         
  Cosecante y la denotaremos por Csc(a)  

NOTA: Las funciones Seno y Cosecante son inversas. También son inversas las funciones Coseno y Secante. Finalmente son inversas las funciones Tangente con Cotangente.

Esto es:

 

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada 360º. De esa manera tenemos que:  cos 60º = cos 420º = 0,5

Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º:

Función Seno:

a sen a
0 0
45 0,71
90 1
135 0,71
180 0
225 - 0,71
270 -1
315 - 0,71
360 0

Función Coseno:

a cos a
0 1
45 0,71
90 0
135 -0,71
180 -1
225 0,71
270 0
315 0,71
360 1

Función Tangente:

a tg a
0 0
45 1
90 ////
135 - 1
180 0
225 1
270 ////
315 - 1
360 0

//// significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado no existe (asíntota).

Función Cotangente:

a Cotg a
0 ////
45 - 1
90 0
135 1
180 ////
225 - 1
270 0
315 ////
360 - 1

Función Secante

a sec a
0 1
45 1,41
90 ////
135 -1,41
180 -1
225 1,41
270 ////
315 1,41
360 1

Función Cosecante:

a Cosec a
0 ////
45 1,41
90 1
135 1,41
180 ////
225 - 1,41
270 -1
315 - 1,41
360 ////

Sistema Circular de Medición de Ángulos:

El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a la circunferencia en seis partes de 60º cada una, obteniendo un giro completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este sistema  en física, para poder calcular el camino desarrollado por alguna partícula en trayectoria circular, se encontraron que el sistema sexagecimal no los ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia. En este sistema un ángulo llano (al dividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor aproximado de "p"). De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos ángulos llanos) mide 2p.

180º =     ó      360º = 2p

En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de 90º (p/2) cada una, que va desde 0º hasta 360º (2p), a las que se denomina cuadrantes: 

1er cuadrante: 0º a 90º

2do cuadrante: 90º a 180º

3 er cuadrante: 180º a 270º

4to cuadrante: 270 a 360º 

Funciones Trigonométricas de ángulos complementarios

Podemos desarrollas las funciones trigonométricas de ángulos complementarios mediante triángulos rectángulos, ya que los ángulos que no son rectos son complementarios entre si: a + b = 90º  Þ b = 90º - a

 

tg (90 - a) = cotg a

cotg  (90 - a) = tg a

sec  (90 - a) = cosec a

cosec  (90 - a) = sec a

Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios son opuestas. En caso de los ángulos de (90º - a) los ángulos caen en el primer cuadrante y los signos son todos positivos.

Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios 

Los ángulos suplementarios suman entre si 180º : a + b = 180º  Þ b = 180º - a

En este caso las funciones quedan iguales sólo cambia el signo según el cuadrante que caiga: sen (180º - a) = sen a

Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante:

En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos "r".

Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el  primer cuadrante son positivas.

Sen  Csc

Tan

 Cot  Cos  Sec

+

+

+

+

+

+

En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y .  El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el Coseno, la Tangente y sus inversas (Secante y Cotangente) tienen resultados negativos.

Sen  Csc

Tan

 Cot  Cos  Sec
+ + - - - -

En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la Tangente (y su inversa, la Cotangente) resultan positivas (- : - = +)

Sen  Csc

Tan

 Cot  Cos  Sec
- - + + - -

En el cuarto cuadrante, el  cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el Coseno y la Secante.

Sen  Csc

Tan

 Cot  Cos  Sec
- - - - + +

Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
 cuadrantes
II I
III IV
Seno - Cosecante
+ +
- -
 Coseno - Secante 
- +
- +
 Tangente - Cotangente
- +
+ -