El Tecnológico de Monterrey ha emprendido un mayúsculo programa de largo alcance que intenta modificar el esquema tradicional de enseñanza con miras a cumplir sus metas plasmadas en la Misión para el año 2005. Básicamente, se busca establecer un nuevo modelo educativo que cambia el esquema tradicional en dos aspectos fundamentales: convertir en un proceso de aprendizaje el proceso de enseñanza que está ligado al esquema tradicional, y desarrollar de una manera estructurada y programada habilidades, actitudes y valores en los estudiantes.
Se quiere asegurar que de manera sistemática en todos los cursos confluyan tres elementos fundamentales: una plataforma didáctica (que modifica sustancialmente el rol tradicional del profesor y del alumno), una plataforma tecnológica (que atiende al desafío de una educación globalizada, por ejemplo) y actividades de aprendizaje (dirigidas a la adquisición consciente y deliberada de habilidades, actitudes y valores). Se intenta que el estudiante obtenga un aprendizaje más vivo y pertinente; de ahí que se propongan esquemas como el trabajo en equipo, el autoestudio y la discusión, que involucren de manera sustancial al estudiante propiciándole construir el conocimiento con base en la solución de problemas.
Ahora bien, si es cierto que el programa de rediseño de los cursos impulsado por el Tecnológico modifica sustancialmente los roles del profesor y del alumno, creemos que en el caso de los cursos de matemáticas es necesario involucrar decididamente un tercer componente ligado a la visión de conjunto, sistémica, del cuadro educativo: el contenido de los cursos. En este artículo argumentamos, basados en la investigación, la necesidad de contemplar la modificación del contenido de nuestros cursos de matemáticas, dado que hemos documentado una serie de dificultades graves en el aprendizaje (que de paso diremos que no son exclusivos del ITESM sino que es un fenómeno que también se presenta en Estados Unidos y Francia, por lo menos) atribuibles directamente al contenido de los cursos actuales de matemáticas.
Nos centraremos en los cursos de cálculo para la ingeniería, donde incluimos los cursos de cálculo diferencial, cálculo integral, cálculo de varias variables y el de ecuaciones diferenciales.
Anotaciones sobre el contenido de los cursos de cálculo:
Contraste cálculo - física
Las investigaciones que hemos venido realizando en el terreno de la matemática educativa desde hace cinco años por lo menos--que incluyen dos trabajos doctorales--nos han llevado a establecer que una buena parte de los problemas que se advierten en los estudiantes en cuanto al aprendizaje de la ciencia básica se puede atribuir exclusivamente a lo que se enseña en los cursos de cálculo. Es decir, independientemente de una buena enseñanza y de lo bueno que sea el alumno, éste tendrá dificultades en el aprendizaje, las cuales son inherentes al aspecto epistemológico del área del saber por enseñar. El contenido mismo de los libros de texto de cálculo es, en buena medida, causante de que no se logren los objetivos de los cursos.
Para ser más específicos, diremos que de acuerdo con la organización curricular de nuestro Instituto, se asume que en los cursos de cálculo recaiga la tarea de organizar un contenido que soporte los recursos infinitesimales que se utilizan en la física. Bastaría revisar los objetivos de los cursos de cálculo para comprobar que efectivamente se asume una función estructural en ese sentido (1). Se pretende que con los cursos de cálculo el estudiante sea capaz de interpretar, plantear y resolver problemas de las materias específicas de su carrera.
Atendiendo a aquel objetivo declarado de nuestros cursos, no podemos circunscribirnos a juzgar la bondad de una didáctica a partir de los resultados que en el aprendizaje se tengan dentro del mismo curso de cálculo. Debemos juzgar a partir de las manifestaciones de aprendizaje que se dan cuando se conjuga lo aprendido de cálculo con lo que se aprende de otros saberes relacionados, como vemos, por ejemplo, con la física.
En este sentido va dirigida la principal crítica hacia los libros de texto en los cuales nuestros programas se apoyan: los libros de cálculo no incluyen --incluso rechazan-- todo un modo de matematizar que está arraigado en la física escolar, y les ha funcionado desde siempre: el estilo diferencial. Vayamos un poco más al detalle.
Entre las materias específicas se incluyen, por lo menos, la mecánica de los fluidos, y la teoría de la electricidad y magnetismo. En el despliegue matemático que se utiliza en estas ramas de la física se recurre de manera significativa a los argumentos (infinitesimales) del tipo diferencial: por un lado, en la toma de un elemento (diferencial) con ciertas características geométricas asociadas y el supuesto de que ciertas magnitudes son constantes ahí; por otro, en el despliegue de recursos geométricos con argumentos de ese corte. Es decir, en la física se tienen, involucradas con los diferenciales, formas de estudiar y de acercarse a los fenómenos.
Esos estilos diferenciales, esas formas de matematizar la física, tienen asiento en el cálculo de Leibniz (2), con su modo de matematizar la geometría, con sus diferenciales conservando sus significados geométrico-infinitesimales, sus reglas de operatividad; sobre ellos se sostienen, matemáticamente hablando, aquellos estilos. Pensemos, por ejemplo, en el recurso de la física infinitesimal: la toma de un elemento diferencial.
Ahora bien, esta forma de trabajar en la física no está respaldada por la matemática contenida en los libros de cálculo, en los que el contenido de los cursos de cálculo tienen su sustento. En éstos, de entrada, están excluidas las magnitudes infinitamente pequeñas y, por tanto, los diferenciales aquellos. La toma del elemento diferencial en la que se extrapola el conocimiento de lo uniforme a lo infinitesimal en la física intenta ser explicada por un procedimiento, el cual cuestionamos seriamente en uno de los trabajos doctorales que involucra un uso de las sumas de Riemann, donde en cada sumando (finito) las variables son "casi" constantes (por lo tanto, los fenómenos son casi uniformes). Incluso sólo en el terreno de la geometría diremos que el tratamiento geométrico que cubren los libros de texto está limitado y no explica "el" que se maneja en la física.
Consecuencias en el aprendizaje
Es natural, hasta cierto punto, que se presenten cierto tipo de dificultades en el aprendizaje de los alumnos, atribuibles en gran medida al fuego cruzado de ideas que provienen de la enseñanza de la física y del cálculo. Por ejemplo, a través del análisis de las respuestas que proporcionaron los estudiantes a un cuestionario que aplicamos, hemos visto cómo intentan congeniar una idea que proviene de la física con argumentos del cálculo.
Específicamente, nos referimos a los argumentos que los estudiantes brindan ante la demanda, por nuestra parte, de una justificación para la fórmula del área de un círculo. Observamos en una buena parte de ellos el intento por congeniar una idea que proviene de la física, descomponer el círculo en coronas circulares con un diferencial del radio como ancho e integrar estos diferenciales de área, con los argumentos que provienen del cálculo, donde se integran funciones y el diferencial en la integral es un mero símbolo; de ahí que el estudiante diga que integra perímetros. Independientemente de una "cuidadosa" didáctica del cálculo y de la física, la dificultad en llevar a cabo tal empresa por parte de los estudiantes radica principalmente en las diferencias esenciales del cálculo, donde se inscriben las ideas que se intentan congeniar: el leibniziano y el nuestro, es decir, en el contenido matemático mismo detrás de las ideas que confluyen en los estudiantes.
Por otro lado, son conocidas las dificultades que para el aprendizaje acarrea el insistir en una presentación de la matemática en forma lógica ascendente, que deja de lado los elementos que rodean la construcción humana de la teoría, los primeros intentos, las intenciones originales.
La práctica docente actual ante el escaso aprendizaje de los alumnos
El poco éxito en lograr una verdadera comprensión por parte de los estudiantes de los principios fundamentales del cálculo ha llevado a fortalecer una práctica por parte de los profesores que reduce la enseñanza a la mera algoritmización, donde la memoria es el principal recurso que el estudiante pone en juego para salir adelante en sus cursos. La investigadora francesa Michéle Artigue (3) afirma (el itálico es nuestro):
"Es evidente que la enseñanza de los principios fundamentales del cálculo es problemática. Numerosas investigaciones realizadas muestran, con convergencias sorprendentes, que si bien se puede enseñar a los estudiantes de forma más o menos mecánica algunos cálculos de derivadas y primitivas y a resolver algunos problemas estándar, se encuentran en grandes dificultades para hacerlos entrar en verdad en el campo del cálculo y para hacerlos alcanzar una comprensión satisfactoria de los conceptos y métodos de pensamiento que son el centro de este campo de las matemáticas. Estos estudios muestran también de manera clara que, frente a las dificultades encontradas, la enseñanza tradicional y en particular la enseñanza universitaria, aun si tiene otras ambiciones, tiende a centrarse en una práctica algorítmica y algebraica del cálculo y a evaluar en esencia las competencias adquiridas en este dominio. Este fenómeno se convierte en un círculo vicioso: para obtener niveles aceptables de éxito, se evalúa aquello que los estudiantes pueden hacer mejor, y esto es, a su vez, considerado por los estudiantes como lo esencial ya que es lo que se evalúa."
Esta práctica, a su vez, invade otras áreas que requieren del apoyo del conocimiento adquirido en los cursos de matemáticas, llegando así a constituirse toda una frágil cultura científica básica con las consecuencias serias que esta situación acarrea en cuanto a la calidad de nuestros egresados en el área del conocimiento.
Ahora bien, revertir esta situación en cuanto a lograr un aprendizaje de calidad, vivo y pertinente, no es cuestión solamente, insistimos, de atender a una nueva relación profesor-alumno, ni a la incorporación efectiva del poder tecnológico, sino que mucho tiene que ver, en sí, lo que se pretende enseñar en nuestros cursos de cálculo.
La imposibilidad de que el estudiante construya conocimiento efectivo dentro de un sistema de enseñanza que mantenga el contenido actual
No es cuestión sólo de modificar el esquema tradicional del proceso enseñanza - aprendizaje para que el estudiante logre apropiarse del conocimiento, que en nuestro caso es el cálculo. Hemos mostrado que existen dificultades en la construcción del conocimiento en el alumno que son inherentes al conocimiento mismo que se le quiere enseñar.
Anotemos que nuestros cursos de cálculo están basados en el contenido de los libros de texto que, a su vez, pertenecen a la tradición educativa del cálculo estadounidense, que lejos están de tomar en cuenta las consideraciones que hemos mencionado. Habría que aclarar, en su defensa, que los estudios en el terreno de la matemática educativa, como ciencia, son relativamente recientes: distan de no más de 20 años. Y, además, si estos contenidos han "funcionado", dentro de una educación que se ha mantenido, lo han hecho en detrimento de una verdadera comprensión de las ideas fundamentales del cálculo; esto, a su vez, como ya lo anotamos anteriormente, ha producido un relajamiento en la enseñanza-aprendizaje, que ha derivado en la práctica algorítmica. Es interesante notar que este problema ya ha sido advertido desde hace tiempo -por lo menos 10 años- en los Estados Unidos, donde se desarrolla una "reforma del cálculo" que, sin embargo, atiende en la gran mayoría de los casos al modo de enseñar y al cambio de rol del profesor y del alumno (solución de problemas, proyectos, etc.), dejando intacto, de nueva cuenta, el qué se enseña, o sea, el contenido. Existen señales que indican que los esfuerzos desarrollados alrededor de la reforma no son tan alentadores como se esperaban.
La posibilidad de cambio, basada en la investigación
Por nuestra parte, creemos que con el camino que hemos emprendido desde hace tiempo en conjunto, en el terreno de la investigación de la matemática educativa y con un sello original e identificados con la escuela mexicana de la matemática educativa representada por el Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV, estamos en posibilidades de ofrecer una verdadera alternativa en cuanto a la enseñanza del cálculo que compita incluso a nivel internacional, en cuanto a la manera de visualizar y resolver una problemática que no es privativa de nuestro país.
Notas
El objetivo general de los cursos de Cálculo para ingeniería: Matemáticas I (Cálculo diferencial de una variable), Matemáticas II (Cálculo integral de una variable), Matemáticas III (Cálculo de Varias Variables) dicen: " Proporcionar al alumno los conocimientos fundamentales del cálculo diferencial de una variable (integral de una variable, varias variables, respectivamente) que serán utilizados en la interpretación, planteamiento y resolución de problemas específicos de su carrera."
Existe una creencia muy difundida, incluso entre nuestros profesores, de que al referirnos al cálculo todos entendemos lo mismo. Sin embargo, diremos que el cálculo de Newton es esencialmente distinto al cálculo de Leibniz (a quienes se les atribuye la invención de esta rama de la matemática). El cálculo contenido en nuestros libros de texto (CALITECA) posee una mezcla de elementos de estos dos; a su vez, existen diferencias notables entre éste y el cálculo francés, etc.
ARTIGUE, M. (1995). “Ingeniería didáctica en educación matemática”. En Grupo Editorial Iberoamérica, La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos (pp. 33-59). Una empresa docente. Bogotá, Colombia.
Ricardo Pulido Ríos obtuvo el Doctorado en Ciencias en la especialidad de Matemática Educativa del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV/IPN) en 1998 y actualmente es profesor del Departamento de Matemáticas del Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey.
Transferencia Posgrado, Investigación y Extensión en el Campus Monterrey
es la
publicación del Campus Monterrey del Tecnológico de Monterrey que divulga las actividades
de investigación, extensión y posgrado.