Objetivo del Curso

Analizar, deducir y aplicar los métodos numéricos tradicionales en la solución (manual y computacionalmente) de problemas científicos e ingenieriles incluyendo problemas que involucran el manejo de matrices y vectores.

Temario

  1. Introducción a los métodos numéricos
    1. Importancia y bases de los métodos númericos: fórmulas de recursión y aproximaciones sucesivas.
    2. Teoría de errores, su propagación y su trascendencia en la aplicación de los métodos numéricos.
    3. Lenguajes de programación y paquetes para métodos numéricos.
    4. Autoestudio 1: Conceptos matemáticos fundamentales para el estudio de métodos numéricos.
    5. Autoestudio 2: Propagación de errores en operaciones aritméticas.
  2. Introducción al paquete computacional Maple
    1. Aritmética simple y variables
    2. Comandos y funciones predefinidas
    3. Operaciones numéricas
    4. Gráficas en 2D y 3D
    5. Definición de funciones simples
    6. Simplificación de expresiones: simplify, combine, normal, collect.
    7. Comandos para cálculo: diff, int, series, limit.
    8. Estructuras y mapeo
    9. Lenguaje de programación
  3. Matrices y sistemas de ecuaciones
    1. Especificación y aplicación de métodos numéricos útiles para resolver sistemas de ecuaciones lineales: Eliminación Gaussiana y Montante.
    2. Métodos Iterativos: Jacobi y Gauss-Seidel.
    3. Conceptos básicos de sistemas de ecuaciones no lineales.
    4. Deducción y aplicación del método de Newton de primer orden para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.
    5. Autoestudio 3: Método de Newton de segundo orden.
  4. Solución de ecuaciones diferenciales
    1. Importancia de los métodos numéricos en la solución de ecuaciones diferenciales.
    2. Justificación matemática, algoritmo y aplicación de métodos numéricos útiles en la solución de ecuaciones diferenciales: Euler simple, Euler-Gauss (o Euler mejorado) simple e iterado, Runge-Kutta de segundo y cuarto orden.
    3. Espacio de Estado y solución de sistemas de ecuaciones diferenciales.
    4. Resolución de problemas que involucren ecuaciones diferenciales utilizando métodos numéricos.
    5. Uso de la función dsolve de Maple.
  5. Ecuaciones algebráicas no lineales y ecuaciones trascendentales
    1. Justificación matemática, algoritmo y condiciones de convergencia para el método numérico de Newton-Raphson aplicado en la búsqueda de una raíz de ecuaciones de una variable.
    2. Método de Bisecciones Sucesivas
    3. Deducción y aplicación de métodos numéricos útiles para obtener todas las raíces (reales o complejas) de un polinomio: Birge-Vieta y Lin-Bairstow.
    4. Resolver problemas que involucren la búsqueda de raíces de una ecuación utilizando como herramientas los métodos numéricos y la computadora.
    5. Uso de las funciones solve y fsolve de Maple.
    6. Autoestudio 4: Método de Bailey para encontrar la raíz de una ecuación no lineal.
  6. Ajuste de curvas
    1. Concepto de ajuste de curvas y utilización de métodos numéricos para encontrar un polinomio que mejor se ajuste a una serie de datos. Diferencia entre ajuste e interpolación.
    2. Desarrollo matemático para encontrar las ecuaciones normales del método de Mínimos Cuadrados, expresándolas en forma matricial.
    3. Auste lineal de funciones por mínimos cuadrados.
    4. Linearización de modelos no lineales. Modelos: exponencial, de potencias y de crecimiento de saturación.
    5. Aplicación de la técnica de mínimos cuadrados para resolver problemas que involucren los métodos numéricos en el ajuste de curvas.
  7. Interpolación Numérica
    1. Concepto de interpolación numérica, usos y ventajas.
    2. Deducción y utilización de métodos numéricos para encontrar un polinomio de interpolación: Método directo (polinomio único de interpolación) y Método de Newton hacia adelante.
    3. Splines Cúbicos
    4. Análisis de estrategias prácticas para encontrar un polinomio de interpolación.
    5. Aplicación de los métodos numéricos de interpolación en la resolución de problemas.
  8. Integración Numérica
    1. Extrapolar el concepto de integración desde el punto de vista matemático al punto de vista numérico.
    2. Comprender diversos métodos numéricos útiles par integrar funciones en un intervalo dado: Coeficientes indeterminados, Trapecio y Simpson 1/3.
    3. Análisis y solución de problemas que involucren la evaluación de una integral, utilizando métodos numéricos.

Políticas de Evaluación

Promedio de 3 exámenes parciales 54%
Examen final 26%
Programas y Tareas 10%
Proyecto Final 10%

Fechas de Exámenes

Primero Sep   07
Segundo Oct   05
Tercero Nov   09
Final 14:30 hrs. G 14:30 G 14:30
Dic 02 Nov 25

Libro de Texto

Libros de Consulta

  1. L. V. Atkinson y P. J. Harley. An Introduction to Numerical Methods with Pascal. Adison-Wesley, 1983.
  2. William C. Bauldry y Joseph R. Fiedler. Calculus projects with Maple V. Brooks/Cole, 1996.
  3. R. L. Burden y J. D. Faires. Análisis Numérico. Grupo Editorial Iberoamérica, 1985.
  4. B. W. Char, K. O. Geddes, G. H. Gonnet, B. L. Leong, M. B. Monagan, y S. Watt. Maple V Language Reference Manual. Springer-Verlag, 1991.
  5. B. W. Char, K. O. Geddes, G. H. Gonnet, B. L. Leong, M. B. Monagan, y S. Watt. First Leaves: A Tutorial Introduction to Maple V. Springer-Verlag, 1992.
  6. Francis Sheid Rosa Elena Di Costanzo. Métodos Numéricos. McGraw Hill, 1989.
  7. Stanley I. Grossman. Algebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamericana, 1987.
  8. Thomas Richard McCalla. Introduction to Numerical Methods and FORTRAN Programming. Wiley, 1967.
  9. Antonio Nieves y Federico C. Domínguez. Métodos Numéricos aplicados a la ingeniería. CECSA, 1995.
  10. Ben Noble y James W. Daniel. Algebra Lineal. Prentice Hall, tercera edition, 1989.
  11. W. Allen Smith. Análisis Numérico. Prentice Hall, 1988.
  12. Manuel Jesús Soto Prieto y José Luis Vicente Córdoba. Álgebra Lineal con Matlab y Maple. Prentice Hall, 1995.

Apuntes (PDF)

Sesiones de Maple en Clase

Grupo 1 Grupo 2

Tareas

Núm Grupo Descripción Fecha de entrega
1 1,2 Realizar una función en Maple, GaussJordan, que implemente el Método de Gauss-Jordan para encontrar la inversa de una matriz A de orden (n x n). Deberá regresar únicamente la inversa de la matriz y reportar el valor de su determinante. La función deberá realizar intercambio de filas cuando alguno de los pivotes sea igual a cero. Si el último pivote es igual a cero, deberá regresar la matriz original y un mensaje "Matriz Singular". Incluya al menos dos ejemplos con matrices de distinto orden y ambos mayores a 3. Agosto 19, 2004
2 1,2 Realizar una función en Maple, Montante, que implemente el Método de Montante para encontrar la inversa de una matriz A de orden (n x n). Deberá regresar únicamente la inversa de la matriz y reportar el valor de su determinante. La función deberá realizar intercambio de filas cuando alguno de los pivotes sea igual a cero. Si el último pivote es igual a cero, deberá regresar la matriz original y un mensaje "Matriz Singular". Utilice funciones para operaciones entre filas de matrices como las utilizadas para la Tarea 1. Incluya al menos dos ejemplos con matrices de distinto orden y ambos mayores a 3. Agosto 26, 2004
3 1,2 Realizar ahora con 3 Splines Cúbicos el ejemplo visto en clase de la aplicación del Método de Splines Cúbicos para Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden. Septiembre 21, 2004
4
1,2
Realizar una función, BirgeV, en Maple que implemente el método de Birge-Vieta para encontrar las raíces de un polinomio.  La función deberá recibir como argumentos: P y v; donde P es un polinomio de grado n en la variable v.  La función deberá regresar una lista con las raíces.  Durante el proceso de encontrar las raíces, deberá desplegar las iteraciones realizadas mostrando los valores de p, p_testa y la aproximación de la nueva de la raíz.
Mostrar al menos dos ejemplos de grado distinto y superior a 4.
Octubre 11, 2004
5
1,2
Realizar una función, RungeK, en Maple que implemente el método de Runge-Kutta de cuarto orden para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de orden 1 (resolver una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales de orden 2 ó mayor en su representación de espacio de estado). Deberá recibir los siguientes argumentos: eds, v, h, t0, tf, ci; donde eds es una lista con las ecuaciones diferenciales, v es una lista de las variables (funciones) en las que están definidas las ecuaciones diferenciales, h es el tamaño de paso, t0 y tf son el tiempo inicial y el tiempo final, respectivamente de solución, y ci una lista con las condiciones iniciales para cada variable en v. La función deberá regresar una lista con los valores de cada variable para cada tiempo:
[[t0,v[1](0),v[2](0),...,v[n](0)],[t1,v[1](1),v[2](1),...,v[n](1)],..., [tf,v[1](m),v[2](m),...,v[n](m)]] (m es el número total de puntos de la solución).
La función deberá generar una gráfica de la solución de todas las variables.
Mostrar al menos dos ejemplos.
Octubre 11, 2004

Mini Proyectos

  1. Para los datos que se adjuntan en la hoja de trabajo de Maple MN04fProy01.mws, realice:
    • un ajuste de una combinación lineal de funciones
    • un ajuste de una combinación no lineal de funciones
    Utilice el menor número posible de funciones. Muestre claramente cómo realizó el ajuste, así como el error que obtuvo. La calificación se asignará en base al mejor ajuste: menor número de funciones con una ponderación de 65% y menor error con una ponderación de 35%.
    Fecha de entrega: Oct. 25, 2004 12 hrs.
  2. Desarrolle una función en Maple, SplinesC, que implemente el método de Splines Cúbicos para interpolación. La función deberá recibir un argumento p que deberá ser una lista con los puntos a interpolar como los datos que se adjuntan en la hoja de trabajo de Maple MN04fProy02.mws. Implemente la opción de linealización de concavidades y desarrolle su función para una lista de puntos variable. La función deberá regresar una función definida por segmentos para evaluarse en el rango de los datos que recibió. Muestre una gráfica con los puntos y con la evaluación de la función que regresa su función SplinesC.
    Fecha de entrega: Nov. 4, 2004 12 hrs.

Proyecto Final

La presentación y visualización de resultados es una parte fundamental en la solución de problema. El objetivo del proyecto final es hacer una animación de los resultados de la aplicación de un método numérico visto en clase. Sin embargo, la solución de ecuaciones diferenciales proporciona una manera de generar movimiento y así animar un sistema dinámico. Maple tiene funciones para animar resultados de forma relativamente sencilla, así como funciones para graficar y transformar primitivos gráficos (revisar el paquete plottools). El objetivo del proyecto final es que se apliquen un poco más a fondo las herramientas que tiene Maple para gráficos conjuntamente con las algoritmos/técnicas numéricas que se vieron en el curso.

Fecha de entrega: Día del examen final.

Proyecto Final Opcional

El sistema de ecuaciones diferenciales que se adjunta es un sistema acoplado cuya solución numérica representa un problema bastante complejo para cualquier sistema de manejo simbólico/numérico como Maple y/o Matlab. El mismo archivo se incluyen las condiciones iniciales. El proyecto consiste en resolver numéricamente dicho sistema utilizando su propia implementación del método de Runge-Kutta cuarto orden. Grafique cada variable. Seleccione un tamaño de paso adecuado para poder tener una solución aceptable.
Archivo de ecuaciones

Fecha de entrega: Día del examen final.

Calificaciones

Avisos


HomeCB